设C1,C2,…,Cn,…是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x轴的正半轴上,且都与直线y=x相切,对每一个正整数n,圆Cn都与圆Cn+1相互外切,以rn表示Cn的半径,已知{rn}为递增-高二数学

题目简介

设C1,C2,…,Cn,…是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x轴的正半轴上,且都与直线y=x相切,对每一个正整数n,圆Cn都与圆Cn+1相互外切,以rn表示Cn的半径,已知{rn}为递增-高二数学

题目详情

设C1,C2,…,Cn,…是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x轴的正半轴上,且都与直线y=x相切,对每一个正整数n,圆Cn都与圆Cn+1相互外切,以rn表示Cn的半径,已知{rn}为递增数列。
(Ⅰ)证明:{rn}为等比数列;
(Ⅱ)设r1=1,求数列的前n项和。
题型:解答题难度:中档来源:0119 月考题

答案

(Ⅰ)证明:将直线y=x的倾斜角记为θ,则
设Cn的圆心为(,0),
则由题意,知,得
同理,
从而
代入,解得:
为公比为3的等比数列。
(Ⅱ)解:由,q=3,得
从而,

则有,              ①
,②
①-②,得


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