在数列{an}与{bn}中，a1=1，b1=4，数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1-(n+3)Sn=0，2an+1为bn与bn+1的等比中项，n∈N*，（Ⅰ）求a2，b2的值；（Ⅱ）求数列{an

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在数列{a_n}与{b_n}中，a₁=1，b₁=4，数列{a_n}的前n项和S_n满足nS_n+1-(n+3)S_n=0，2a_n+1为b_n与b_n+1的等比中项，n∈N*，
（Ⅰ）求a₂，b₂的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）设，n∈N*，证明|T_n|＜2n²，n≥3。

题型：解答题难度：偏难来源：天津高考真题

答案

（Ⅰ）解：由题设有，a1=1，解得，
由题设又有，b1=4，解得；
（Ⅱ）解：由题设，a1=1，b1=4，及，，
进一步可得，
猜想，，n∈N*，
先证，n∈N*，
当n=1时，，等式成立；
当n≥2时用数学归纳法证明如下：
（1）当n=2时，，等式成立；
（2）假设n=k时等式成立，即，k≥2，
由题设，，　　① 　　
，②
①的两边分别减去②的两边，整理得，
从而．
这就是说，当n=k+1时等式也成立．
根据（1）和（2）可知，等式对任何的n≥2成立．
综上所述，等式对任何的n∈N*都成立；
再用数学归纳法证明，n∈N*。
（1）当n=1时，，等式成立；
（2）假设当n=k时等式成立，即，那么，
这就是说，当n=k+1时等式也成立．
根据（1）和（2）可知，等式对任何的n∈N*都成立．
（Ⅲ）证明：，
当n=4k，k∈N*时，，
注意到，
故
，
当n=4k-1，k∈N*时，
；
当n=4k-2，k∈N*时，
；
当n=4k-3，k∈N*时，
；
所以；
从而n≥3时，有，
总之，当n≥3时，有，即。

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在数列{an}与{bn}中，a1=1，b1=4，数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1-(n+3)Sn=0，2an+1为bn与bn+1的等比中项，n∈N*，（Ⅰ）求a2，b2的值；（Ⅱ）求数列{an

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