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记定义在[-1，1]上的函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R）的最大值与最小值分别为M，m．又记h（p）=M-m．（Ⅰ）当0≤p≤2时，求M、m（用p，q表示），并证明h（p）≥1；（Ⅱ）写出h（

题目简介

记定义在[-1，1]上的函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R）的最大值与最小值分别为M，m．又记h（p）=M-m．（Ⅰ）当0≤p≤2时，求M、m（用p，q表示），并证明h（p）≥1；（Ⅱ）写出h（

题目详情

记定义在[-1，1]上的函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R）的最大值与最小值分别为M，m．又记h（p）=M-m．
（Ⅰ）当0≤p≤2时，求M、m（用p，q表示），并证明h（p）≥1；
（Ⅱ）写出h（p）的解析式（不必写出求解过程）；
（Ⅲ）在所有形如题设的函数f（x）中，求出这样的f（x），使得|f（x）|的最大值为最小．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）0≤p≤2⇒-1≤-class="stub"p
2
≤0，又f（x）图象开口向上，
∴M=f(1)=1+p+q，m=f(-class="stub"p
2
)=q-
p2
4

∴h(p)=M-m=class="stub"1
4
(p+2)2≥1（4分）
（Ⅱ）h(p)=
-2p
  (p＜-2)
class="stub"1
4
(p-2)2，
  (-2≤p＜0)
class="stub"1
4
(p+2)2，
  (0≤p≤2)
2p，
， 
 
  (p＞2)

（Ⅲ）由（Ⅱ）知h(p)=M-m=
-2p＞4
  (p＜-2)
class="stub"1
4
(p-2)2＞1，
  (-2≤p＜0)
class="stub"1
4
(p+2)2≥1，
  (0≤p≤2)
2p＞4，
， 
 
  (p＞2)
，∴M-m≥1．
∵在[-1，1]上，总有|f(x)|max≥class="stub"M-m
2
，当且仅当M=-m时取”=”；
又，class="stub"M-m
2
≥class="stub"1
2
，当且仅当p=0时取“=”，
∴当class="stub"M-m
2
=class="stub"1
2
时的f（x）符合条件．
此时，p=0，M=1+q，m=q．由M=-m得1+q=-q．∴q=-class="stub"1
2

即所求函数为：f（x）=x2-class="stub"1
2
．（13分）

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