首页 > 已知平面向量a=(cosφ，sinφ)，b=(cosx，sinx)，c=(sinφ，-cosφ)，其中0＜φ＜π，且函数f(x)=(a•b)cosx+(b•c)sinx的图象过点(π6，1)．（1）求

已知平面向量a=(cosφ，sinφ)，b=(cosx，sinx)，c=(sinφ，-cosφ)，其中0＜φ＜π，且函数f(x)=(a•b)cosx+(b•c)sinx的图象过点(π6，1)．（1）求

题目简介

已知平面向量a=(cosφ，sinφ)，b=(cosx，sinx)，c=(sinφ，-cosφ)，其中0＜φ＜π，且函数f(x)=(a•b)cosx+(b•c)sinx的图象过点(π6，1)．（1）求

题目详情

已知平面向量
a
=(cosφ，sinφ)，
b
=(cosx，sinx)，
c
=(sinφ，-cosφ)，其中0＜φ＜π，且函数f(x)=(
a
•
b
)cosx+(
b
•
c
)sinx的图象过点(
π
6
，1)．
（1）求φ的值；
（2）先将函数y=f（x）的图象向左平移
π
12
个单位，然后将得到函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[0，
π
2
]上的最大值和最小值．
题型：解答题难度：中档来源：烟台一模

答案

（1）由题意可得
a
•
b
=（cosφ，sinφ）•（cosx，sinx）=cosφcosx+sinφsinx=cos（φ-x），
b
•
c
=（cosx，sinx）•（sinφ-cosφ）=sinφcosx-cosφsinx=sin（φ-x），
∴函数f(x)=(
a
•
b
)cosx+(
b
•
c
)sinx=cos（φ-x）cosx+sin（φ-x）sinx=cos（φ-x-x）=cos（2x-φ）．
把点(class="stub"π
6
，1)代入可得 cos（class="stub"π
3
-φ）=1．
而 0＜φ＜π，∴φ=class="stub"π
3
．
（2）由（1）可得f（x）=cos（2x-class="stub"π
3
），图象向左平移class="stub"π
12
个单位，
可得函数y=cos[2（x+class="stub"π
12
）-class="stub"π
3
]=cos（2x-class="stub"π
6
）的图象；然后将得到函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍，
纵坐标不变，得到函数y=cos（x-class="stub"π
6
）的图象，
故函数 y=g（x）=cos（x-class="stub"π
6
）．
由x∈[0，class="stub"π
2
]，可得 x-class="stub"π
6
∈[-class="stub"π
6
，class="stub"π
3
]，
故当x-class="stub"π
6
=0时，函数g（x）=cos（x-class="stub"π
6
） 取得最大值为1，
x-class="stub"π
6
=class="stub"π
3
时，函数g（x）=cos（x-class="stub"π
6
） 取得最小值为 class="stub"1
2
．

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