首页 > 已知函数f(x)=sin(x-π6)+cos(x-π3)，g(x)=2sin2x2．（I）若α是第一象限角，且f(α)=335，求g（α）的值；（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．-数学

已知函数f(x)=sin(x-π6)+cos(x-π3)，g(x)=2sin2x2．（I）若α是第一象限角，且f(α)=335，求g（α）的值；（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．-数学

题目简介

已知函数f(x)=sin(x-π6)+cos(x-π3)，g(x)=2sin2x2．（I）若α是第一象限角，且f(α)=335，求g（α）的值；（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．-数学

题目详情

已知函数f(x)=sin(x-
π
6
)+cos(x-
π
3
)，g(x)=2sin2
x
2
．
（I）若α是第一象限角，且f(α)=
3
3
5
，求g（α）的值；
（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．
题型：解答题难度：中档来源：湖南

答案

：∵sin（x-class="stub"π
6
）=sinxcosclass="stub"π
6
-cosxsinclass="stub"π
6
=
3
2
sinx-class="stub"1
2
cosx
cos（x-class="stub"π
3
）=cosxcosclass="stub"π
3
+sinxsinclass="stub"π
3
=class="stub"1
2
cosx+
3
2
sinx
∴f(x)=sin(x-class="stub"π
6
)+cos(x-class="stub"π
3
)=（
3
2
sinx-class="stub"1
2
cosx）+（class="stub"1
2
cosx+
3
2
sinx）=
3
sinx
而g(x)=2sin2class="stub"x
2
=1-cosx
（I）∵f(α)=
3
3
5
，∴
3
sinα=
3
3
5
，解之得sinα=class="stub"3
5

∵α是第一象限角，∴cosα=
1-sin2α
=class="stub"4
5

因此，g（α）=2sin2class="stub"α
2
=1-cosα=class="stub"1
5
，
（II）f（x）≥g（x），即
3
sinx≥1-cosx
移项，得
3
sinx+cosx≥1，化简得2sin（x+class="stub"π
6
）≥1
∴sin（x+class="stub"π
6
）≥class="stub"1
2
，可得class="stub"π
6
+2kπ≤x+class="stub"π
6
≤class="stub"5π
6
+2kπ（k∈Z）
解之得2kπ≤x≤class="stub"2π
3
+2kπ（k∈Z）
因此，使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤class="stub"2π
3
+2kπ（k∈Z）}

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