首页 > 设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=12+bi，Z2=1+ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点．证明：曲线：Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t（t∈R）与△

设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=12+bi，Z2=1+ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点．证明：曲线：Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t（t∈R）与△

题目简介

设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=12+bi，Z2=1+ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点．证明：曲线：Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t（t∈R）与△

题目详情

设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=
1
2
+bi，Z2=1+ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点．
证明：曲线：Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t  （t∈R）与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：曲线方程为：z=aicos4t+（1+2bi）cos2tsin2t+（1+ci）sin4t
=（cos2tsin2t+sin4t）+i（acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t）
所以x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t（0≤x≤1）
y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a（1-x）2+2b（1-x）x+cx2
即y=（a-2b+c）x2+2（b-a）x+a（0≤x≤1）①
若a-2b+c=0，则Z0、Z1、Z2三点共线，与已知矛盾，故a-2b+c≠0．
于是此曲线为对称轴与x轴垂直的抛物线．
设AB中点M：class="stub"1
4
+class="stub"1
2
(a+b)i，BC中点N：class="stub"3
4
+class="stub"1
2
(b+c)i
与AC平行的中位线经过M(class="stub"1
4
，class="stub"1
2
(a+b))及N(class="stub"3
4
，class="stub"1
2
(b+c))两点，
其方程为4（a-c）x+4y-3a-2b+c=0（class="stub"1
4
≤x≤class="stub"3
4
），
令4（a-2b+c）x2+8（b-c）x+4a=4（c-a）x+3a+2b-c，
即4（a-2b+c）x2+4（2b-a-c）x+a-2b+c=0，
由a-2b+c=0，得4x2+4x+1=0，此方程在[class="stub"1
4
，class="stub"3
4
]内有唯一解x=class="stub"1
2
，
以x=class="stub"1
2
代入①得y=class="stub"1
4
(a+2b+c)，
所以，所求公共点坐标为（class="stub"1
2
，class="stub"1
4
(a+2b+c)．

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