若对一切θ∈R,复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2,则实数a的取值范围为______.-数学

题目简介

若对一切θ∈R,复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2,则实数a的取值范围为______.-数学

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若对一切θ∈R,复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2,则实数a的取值范围为______.
题型:填空题难度:中档来源:广州一模

答案

由题意可得  (a+cosθ)2+(2a-sinθ)2=5a2+1+2a(cosθ-2sinθ)=5a2+1+2
5
asin(θ+∅)≤4,
 即  2
5
asin(θ+∅)+5a2-3≤0.令 sin(θ+∅)=x,-x≤x≤1,
则 f(x)=2
5
a x+5a2-3 (-x≤x≤1)是一次函数,
由题意得f(x)≤0,∴
2
5
a + 5 a2-3≤0 
-2
5
a + 5 a2-3≤0 

解得-
5
5
≤a≤
5
5

故答案为  [-
5
5
5
5
]

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