首页 > 已知a，b，c∈（0，1）．（1）若(1-a)b＞14，求证：(1-a)+b2＞12．（2）求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数中至少有一个小于或等于14．-数学

已知a，b，c∈（0，1）．（1）若(1-a)b＞14，求证：(1-a)+b2＞12．（2）求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数中至少有一个小于或等于14．-数学

题目简介

已知a，b，c∈（0，1）．（1）若(1-a)b＞14，求证：(1-a)+b2＞12．（2）求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数中至少有一个小于或等于14．-数学

题目详情

已知a，b，c∈（0，1）．
（1）若(1-a)b＞
1
4
，求证：
(1-a)+b
2
＞
1
2
．
（2）求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数中至少有一个小于或等于
1
4
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）a，b，c∈（0，1），∴1-a＞0，b＞0．
∵(1-a)b＞class="stub"1
4
，∴
(1-a)+b
2
≥
(1-a)b
＞
class="stub"1
4
=class="stub"1
2
．
故
(1-a)+b
2
＞class="stub"1
2
成立．
（2）证明：假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数都大于 class="stub"1
4
，由（1）得
(1-a)+b
2
＞class="stub"1
2
，
同理可得
(1-b)+c
2
＞class="stub"1
2
，
(1-c)+a
2
＞class="stub"1
2
，
把这三个不等式相加可得
(1-a)+b
2
+
(1-b)+c
2
+
(1-c)+a
2
＞class="stub"3
2
，即class="stub"3
2
 ＞class="stub"3
2
，矛盾，
从而得到假设不成立，即（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数中至少有一个小于或等于class="stub"1
4
．

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