首页 > 已知f（x）=a2x-12x3，x∈（-2，2）为正常数．（1）可以证明：定理“若a、b∈R*，则a+b2≥ab（当且仅当a=b时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）

已知f（x）=a2x-12x3，x∈（-2，2）为正常数．（1）可以证明：定理“若a、b∈R*，则a+b2≥ab（当且仅当a=b时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）

题目简介

已知f（x）=a2x-12x3，x∈（-2，2）为正常数．（1）可以证明：定理“若a、b∈R*，则a+b2≥ab（当且仅当a=b时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）

题目详情

已知f（x）=a2x-
1
2
x3，x∈（-2，2）为正常数．
（1）可以证明：定理“若a、b∈R*，则
a+b
2
≥
ab
（当且仅当a=b时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；
（2）若f（x）＞0在（0，2）上恒成立，且函数f（x）的最大值大于1，求实数a的取值范围，并由此猜测y=f（x）的单调性（无需证明）；
（3）对满足（2）的条件的一个常数a，设x=x1时，f（x）取得最大值．试构造一个定义在D={x|x＞-2，且x≠4k-2，k∈N}上的函数g（x），使当x∈（-2，2）时，g（x）=f（x），当x∈D时，g（x）取得最大值的自变量的值构成以x1为首项的等差数列．
题型：解答题难度：中档来源：松江区模拟

答案

（1）若a、b、c∈R+，则class="stub"a+b+c
3
≥
3abc
（当且仅当a=b=c时取等号）．
（2）f（x）=ax2-class="stub"1
2
x3=x(a2-class="stub"1
2
x2)＞0在（0，2）上恒成立，
即a2＞class="stub"1
2
x2在（0，2）上恒成立，
∵class="stub"1
2
x2∈（0，2），∴a2≥2，即a≥
2
，
又∵[f(x)]2=x2(a2-class="stub"1
2
x2)(a2-class="stub"1
2
x2)≤[
x2+(a2-class="stub"1
2
x2)+(a2-class="stub"1
2
x2)
3
]3=(
2a2
3
)3
∴x2=a2-class="stub"1
2
x2，即x=
6
3
a时，
fmax=
2
6
9
a3＞1⇒a3＞
2
6
9
=
3
6
4
=(
6
2
)3⇒a＞
6
2
，
又∵x=
6
3
a∈（0，2），∴a∈(0，
6
)．综上，得a∈[
2
，
6
)．
易知，f（x）是奇函数，∵x=
6
3
a时，函数有最大值，∴x=-
6
3
a时，函数有最小值．
故猜测：x∈(-2，-
6
3
a]∪ [
6
3
a，2)时，f（x）单调递减；x∈[-
6
3
a，
6
3
a]时，f（x）单调递增．
（3）依题意，只需构造以4为周期的周期函数即可．
如对x∈（4k-2，4k+2），k∈N，x-4k∈（-2，2），此时g（x）=g（x-4k）=f（x-4k），
即g（x）=a2（x-4k）-class="stub"1
2
 (x- 4k)3，x∈（4k-2，4k+2）．k∈N．

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