已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=an·（4-an）（n∈N）.证明：an＜an+1＜2（n∈N）.-数学

题目简介

已知数列{ a_n}的各项都是正数，且满足：a₀=1，a_n+1=

a_n·（4-a_n）（n∈N）.
证明：a_n＜a_n+1＜2（n∈N）.

题型：解答题难度：中档来源：不详

证明略

证明方法一用数学归纳法证明：
（1）当n=0时，a0=1，a1=

a0(4-a0)=

,
所以a0＜a1＜2,命题正确.
（2）假设n=k时命题成立，即ak-1＜ak＜2.
则当n=k+1时，ak-ak+1
=

ak-1(4-ak-1)-

ak(4-ak)
=2(ak-1-ak)-

(ak-1-ak)(ak-1+ak)
=

(ak-1-ak)(4-ak-1-ak).
而ak-1-ak＜0,4-ak-1-ak＞0,所以ak-ak+1＜0.
又ak+1=

ak(4-ak)=

［4-（ak-2）2］＜2.
所以n=k+1时命题成立.
由（1）（2）可知，对一切n∈N时有an＜an+1＜2.
方法二用数学归纳法证明：
(1)当n=0时，a0=1,a1=

a0(4-a0)=

,
所以0＜a0＜a1＜2;
(2)假设n=k时有ak-1＜ak＜2成立，
令f(x)=

x(4-x),f(x)在［0，2］上单调递增，
所以由假设有：f（ak-1）＜f(ak)＜f(2),
即

ak-1（4-ak-1）＜

ak（4-ak）＜

×2×(4-2),
也即当n=k+1时,ak＜ak+1＜2成立.
所以对一切n∈N，有ak＜ak+1＜2.