选修4-5:不等式选讲已知x,y,z为实数,且x+2y+3z=7,(Ⅰ)求x2+y2+z2的最小值;(Ⅱ)设|2t-1|=x2+y2+z2,求实数t的取值范围.-数学

题目简介

选修4-5:不等式选讲已知x,y,z为实数,且x+2y+3z=7,(Ⅰ)求x2+y2+z2的最小值;(Ⅱ)设|2t-1|=x2+y2+z2,求实数t的取值范围.-数学

题目详情

选修4-5:不等式选讲已知x,y,z为实数,且x+2y+3z=
7

(Ⅰ)求x2+y2+z2的最小值;
(Ⅱ)设|2t-1|=x2+y2+z2,求实数t的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)由柯西不等式(12+22+32)(x2+y2+z2)≥(1•x+2•y+3•z)2
14(x2+y2+z2)≥(
7
)2=7
,所以x2+y2+z2≥class="stub"1
2

当且仅当|x|=class="stub"1
2
|y|=class="stub"1
3
|z|
时取等号,即x2+y2+z2的最小值为class="stub"1
2
…(3分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得|2t-1|≥class="stub"1
2
,则2t-1≥class="stub"1
2
或2t-1≤-class="stub"1
2
,解得t≥class="stub"3
4
t≤class="stub"1
4

即实数t的取值范围是(-∞,class="stub"1
4
]∪[class="stub"3
4
,+∞)
…(7分)

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