首页 > 已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2•3n+k（k∈R，n∈N*）（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}满足an=4(5+k)anbn，Tn为数列{bn}的前n项和，试比较3-16T

已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2•3n+k（k∈R，n∈N*）（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}满足an=4(5+k)anbn，Tn为数列{bn}的前n项和，试比较3-16T

题目简介

已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2•3n+k（k∈R，n∈N*）（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}满足an=4(5+k)anbn，Tn为数列{bn}的前n项和，试比较3-16T

题目详情

已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2•3n+k（k∈R，n∈N*）
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足an=4(5+k)anbn，Tn为数列{bn}的前n项和，试比较3-16Tn与 4（n+1）bn+1的大小，并证明你的结论．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由Sn=2-3n+k可得
n≥2 时，an=Sn-Sn-1=4×3n-1
∵{an}是等比数列
∴a1=S1=6+k=4∴k=-2，an=4×3n-1
（Ⅱ）由an=4×(5+k)anbn和an=4×3n-1得bn=class="stub"n-1
4•3n-1
（6分）
Tn=b1+b2+…+bn
=class="stub"1
4•3
+class="stub"2
4•32
+…+class="stub"n-2
4•3n-2
+class="stub"n-1
4•3n-1

3Tn=class="stub"1
4
+class="stub"2
4•3
+class="stub"3
4•32
+…+class="stub"n-1
4•3n-2

两式相减可得，2Tn=class="stub"1
4
+class="stub"1
4•3
+class="stub"1
4•32
+…+class="stub"1
4•3n-2
-class="stub"n-1
4•3n-1

Tn=class="stub"1
8
+class="stub"1
8•3
+class="stub"1
8•32
+…+class="stub"1
8•3n-2
-class="stub"n-1
8•3n-1

=class="stub"3
16
-class="stub"2n+1
16•3n-1

4（n+1）bn+1-（3-16Tn）=
n(n+1)
3n
-class="stub"2n+1
3n-1
=
n(n+1)-3(2n+1)
3n

而n（n+1）-3（2n+1）=n2-5n-3
当n＞
5+
37
2
或n＜
5-
37
2
＜0时，有n（n+1）＞3（2n+1）
所以当n＞5时有3-16Tn＜4（n+1）bn+1
那么同理可得：当
5-
37
2
＜n＜
5+
37
2

时有n（n+1）＜3（2n+1），所以当1≤n≤5时有3-16Tn＞4（n+1）bn+1
综上：当n＞5时有3-16Tn＜4（n+1）bn+1；
当1≤n≤5时有3-16Tn＞4（n+1）bn+1

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网