已知等比数列{an}中,a1=13,公比q=13.(I)Sn为{an}的前n项和,证明:Sn=1-an2(II)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.-数学

题目简介

已知等比数列{an}中,a1=13,公比q=13.(I)Sn为{an}的前n项和,证明:Sn=1-an2(II)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.-数学

题目详情

已知等比数列{an}中,a1=
1
3
,公比q=
1
3

(I)Sn为{an}的前n项和,证明:Sn=
1-an
2

(II)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

证明:(I)∵数列{an}为等比数列,a1=class="stub"1
3
,q=class="stub"1
3

∴an=class="stub"1
3
×(class="stub"1
3
)
n-1
=class="stub"1
3n

Sn=
class="stub"1
3
(1- class="stub"1
3n
)
1-class="stub"1
3
=
1-class="stub"1
3n
2

又∵
1-an
2
=
1-class="stub"1
3n
2
=Sn
∴Sn=
1-an
2

(II)∵an=class="stub"1
3n

∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-log33+(-2log33)+…-nlog33
=-(1+2+…+n)
=-
n(n+1)
2

∴数列{bn}的通项公式为:bn=-
n(n+1)
2

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