已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且3an+1+2Sn=3（n为正整数）（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n，k≤Sn恒成立，求实数k的最大值．-高二数学

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已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且3a_n+1+2S_n=3（n为正整数）
（Ⅰ）求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意正整数n，k≤S_n恒成立，求实数k的最大值．

题型：解答题难度：中档来源：江苏期末题

答案

解：（Ⅰ）∵3an+1+2Sn，①
∴当n≥2时，3an+2Sn﹣1=3．②
由 ①﹣②，得3an+1﹣3an+2an=0．
∴，n≥2．
又∵a1=1，3a2+2a1=3，解得．
∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．
∴，（n为正整数）．
（2）∵数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，
∴=，
由题意可知，对于任意的正整数n，恒有k≤，
∴数列{1﹣}单调递增，
当n=1时，数列中的最小项为，
即
∴必有k≤1，即实数k的最大值为1．

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已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且3an+1+2Sn=3（n为正整数）（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n，k≤Sn恒成立，求实数k的最大值．-高二数学

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