已知{an}是首项为2,公比为12的等比数列,Sn为它的前n项和.(1)用Sn表示Sn+1;(2)是否存在自然数c和k,使得Sk+1-cSk-c>2成立.-数学

题目简介

已知{an}是首项为2,公比为12的等比数列,Sn为它的前n项和.(1)用Sn表示Sn+1;(2)是否存在自然数c和k,使得Sk+1-cSk-c>2成立.-数学

题目详情

已知{an}是首项为2,公比为
1
2
的等比数列,Sn为它的前n项和.
(1)用Sn表示Sn+1
(2)是否存在自然数c和k,使得
Sk+1-c
Sk-c
>2
成立.
题型:解答题难度:中档来源:上海

答案

解(1)由Sn=4(1-class="stub"1
2n
)
,得Sn+1=4(1-class="stub"1
2n+1
)=class="stub"1
2
Sn+2(n∈N)

(2)要使
Sk+1-c
Sk-c
>2
,只要
c-(class="stub"3
2
Sk-2)
c-Sk
<0

因为Sk=4(1-class="stub"1
2k
)<4
,所以Sk-(class="stub"3
2
Sk-2)=2-class="stub"1
2
Sk>0(k∈N)

故只要class="stub"3
2
Sk-2<c<Sk(k∈N)
.①
因为Sk+1>Sk(k∈N),所以class="stub"3
2
Sk-2≥class="stub"3
2
S1-2=1

又Sk<4,故要使①成立,c只能取2或3.
当c=2时,因为S1=2,所以当k=1时,c<Sk不成立,从而①不成立.
因为class="stub"3
2
S2-2=class="stub"5
2
>c
,由Sk<Sk+1(k∈N),得class="stub"3
2
Sk-2<class="stub"3
2
Sk+1-2
,所以当k≥2时,class="stub"3
2
Sk-2>c
,从而①不成立.
当c=3时,因为S1=2,S2=3,
所以当k=1,2时,c<Sk不成立,从而①不成立.
因为class="stub"3
2
S3-2=class="stub"13
4
>c
,又class="stub"3
2
Sk-2<class="stub"3
2
Sk+1-2

所以当k≥3时,class="stub"3
2
Sk-2>c
,从而①不成立.
故不存在自然数c、k,使
Sk+1-c
Sk-c
>2
成立.

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