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已知数列{an}的前n项和Sn=-an-(12)n-1+2（n为正整数）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令cn=n+1nan，Tn=c1+c2+…+cn，求Tn的值．-数学

题目简介

已知数列{an}的前n项和Sn=-an-(12)n-1+2（n为正整数）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令cn=n+1nan，Tn=c1+c2+…+cn，求Tn的值．-数学

题目详情

已知数列{an}的前n项和Sn=-an-(
1
2
)n-1+2（n为正整数）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令cn=
n+1
n
an，Tn=c1+c2+…+cn，求Tn的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）在Sn=-an-(class="stub"1
2
)n-1+2中，
令n=1，可得S1=-a1-1+2=a1，
即a1=class="stub"1
2

当n≥2时，Sn-1=-an-1-(class="stub"1
2
)n-2+2，
∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(class="stub"1
2
)n-1，
∴2an=an-1+(class="stub"1
2
)n-1，即2nan=2n-1an-1+1．
∵bn=2nan，∴bn=bn-1+1，
即当n≥2时，bn-bn-1=1．
又b1=2a1=1，
∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．
于是bn=1+（n-1）•1=n=2nan，
∴an=class="stub"n
2n
．
（2）由（1）得cn=class="stub"n+1
n
an=(n+1)(class="stub"1
2
)n，
所以Tn=2×class="stub"1
2
+3×(class="stub"1
2
)2+4×(class="stub"1
2
)3+…+(n+1)(class="stub"1
2
)nclass="stub"1
2
Tn=2×(class="stub"1
2
)2+3×(class="stub"1
2
)3+4×(class="stub"1
2
)4+…+(n+1)(class="stub"1
2
)n+1
由①-②得class="stub"1
2
Tn=1+(class="stub"1
2
)2+(class="stub"1
2
)3+…+(class="stub"1
2
)n-(n+1)(class="stub"1
2
)n+1
=1+
class="stub"1
4
[1-(class="stub"1
2
)n-1]
1-class="stub"1
2
-(n+1)(class="stub"1
2
)n+1=class="stub"3
2
-class="stub"n+3
2n+1
∴Tn=3-class="stub"n+3
2n

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