首页 > 设等比数列{an}的前n项和Sn，首项a1=1，公比q=f(λ)=λ1+λ(λ≠-1，0)．（Ⅰ）证明：Sn=（1+λ）-λan；（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=12，bn=f（bn-1）（n∈N*，n

设等比数列{an}的前n项和Sn，首项a1=1，公比q=f(λ)=λ1+λ(λ≠-1，0)．（Ⅰ）证明：Sn=（1+λ）-λan；（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=12，bn=f（bn-1）（n∈N*，n

题目简介

设等比数列{an}的前n项和Sn，首项a1=1，公比q=f(λ)=λ1+λ(λ≠-1，0)．（Ⅰ）证明：Sn=（1+λ）-λan；（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=12，bn=f（bn-1）（n∈N*，n

题目详情

设等比数列{an}的前n项和Sn，首项a1=1，公比q=f(λ)=
λ
1+λ
(λ≠-1，0)．
（Ⅰ）证明：Sn=（1+λ）-λan；
（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=
1
2
，bn=f（bn-1）（n∈N*，n≥2），求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）若λ=1，记cn=an(
1
bn
-1)，数列{cn}的前项和为Tn，求证：当n≥2时，2≤Tn＜4．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）证明：Sn=
a1(1-qn)
1-q
=
a1[1-(class="stub"λ
1+λ
)n]
1-class="stub"λ
1+λ
=(1+λ)[1-(class="stub"λ
1+λ
)n]=(1+λ)-λ(class="stub"λ
1+λ
)n-1
而an=a1(class="stub"λ
1+λ
)n-1=(class="stub"λ
1+λ
)n-1所以Sn=（1+λ）-λan（4分）
（Ⅱ）f(λ)=class="stub"λ
1+λ
，∴bn=
bn-1
1+bn-1
，∴class="stub"1
bn
=class="stub"1
bn-1
+1，（6分）

∴{class="stub"1
bn
}是首项为class="stub"1
b1
=2，公差为1的等差数列，class="stub"1
bn
=2+(n-1)=n+1，即bn=class="stub"1
n+1
．（8分）

（Ⅲ）λ=1时，an=(class="stub"1
2
)n-1，∴cn=an(class="stub"1
bn
-1)=n(class="stub"1
2
)n-1（9分）
∴Tn=1+2(class="stub"1
2
)+3(class="stub"1
2
)2++n(class="stub"1
2
)n-1∴class="stub"1
2
Tn=class="stub"1
2
+2(class="stub"1
2
)2+3(class="stub"1
2
)3++n(class="stub"1
2
)n
相减得∴class="stub"1
2
Tn=1+(class="stub"1
2
)+(class="stub"1
2
)2++(class="stub"1
2
)n-1-n(class="stub"1
2
)n=2[1-(class="stub"1
2
)n]-n(class="stub"1
2
)n
∴Tn=4-(class="stub"1
2
)n-2-n(class="stub"1
2
)n-1＜4，（12分）
又因为cn=n(class="stub"1
2
)n-1＞0，∴Tn单调递增，
∴Tn≥T2=2，故当n≥2时，2≤Tn＜4．（13分）

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