首页 > 设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是i、j，坐标平面上点An、Bn（n∈N*）分别满足下列两个条件：①OA1=j且AnAn+1=i+j；②OB1=3i且BnBn+1=(23)n×3i．（1）求OAn及

设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是i、j，坐标平面上点An、Bn（n∈N*）分别满足下列两个条件：①OA1=j且AnAn+1=i+j；②OB1=3i且BnBn+1=(23)n×3i．（1）求OAn及

题目简介

设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是i、j，坐标平面上点An、Bn（n∈N*）分别满足下列两个条件：①OA1=j且AnAn+1=i+j；②OB1=3i且BnBn+1=(23)n×3i．（1）求OAn及

题目详情

设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是
i
、
j
，坐标平面上点An、Bn（n∈N*）分别满足下列两个条件：
①
OA1
=
j
且
AnA
n+1=
i
+
j
；②
OB1
=3
i
且
BnBn+1
=(
2
3
)n ×3
i
．
（1）求
OAn
及
OBn
的坐标；
（2）若四边形AnBnBn+1An+1的面积是an，求an（n∈N*）的表达式；
（3）对于（2）中的an，是否存在最小的自然数M，对一切（n∈N*）都有an＜M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）
OAn
=
OA1
+
A1A2
+…+
An-1An
=
j
+(n-1)(
i
+
j
)=(n-1)
i
+n
j
=(n-1，n)．
OBn
=
OB1
+
B1B2
+…+
Bn-1Bn
=3
i
+(class="stub"2
3
)1×3
i
+(class="stub"2
3
)2×3
i
+…+(class="stub"2
3
)n-1×3
i
=
1-(class="stub"2
3
)n
1-class="stub"2
3
×3
i
=(9-9×(class="stub"2
3
)n，0)．
（2）设AnAn+1的所在的直线交x轴于点p，则有
an=S△PAn+1Bn+1-S△PAnBn=class="stub"1
2
[10-9×(class="stub"2
3
)n+1]×(n+1)-class="stub"1
2
[10-9×(class="stub"2
3
)n]×n
=5+(n-2)×(class="stub"2
3
)n-1．
（3）an-an+1=[5+3(n-2)×(class="stub"2
3
)n-1]-[5+3(n-1)×(class="stub"2
3
)n]=3×(class="stub"2
3
)n-1[(n-2)-(n-1)×(class="stub"2
3
)]=(n-4)×(class="stub"2
3
)n-1．
∴a1-a2＜0，a2-a3＜0，a3-a4＜0．a4-a5=0，a5-a6＞0，a6-a7＞0，等等．
即在数列{an}中，a4=a5=5+class="stub"8
9
是数列的最大项，所以存在最小的自然数M=6，对一切n∈N*，都有an＜M成立．

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