已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列。又，n=1，2，3，…，（Ⅰ）证明{bn}为等比数列；（Ⅱ）如果无穷等比数列{bn}各项的和S=，求数列{an}的首项a1

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已知{a_n}是各项均为正数的等差数列，lga₁、lga₂、lga₄成等差数列。又，n=1，2，3，…，
（Ⅰ）证明{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）如果无穷等比数列{b_n}各项的和S=，求数列{a_n}的首项a₁和公差d。
（注：无穷数列各项的和即当n→∞时数列前项和的极限）

题型：解答题难度：中档来源：高考真题

答案

（Ⅰ）证明：设{an}中首项为a1，公差为d，
∵lga1，lga2，lga4成等差数列，
∴2lga2=lga1·lga4，
∴a22=a1·a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，
∴d=0或d=a1，
当d=0时，an=a1，，
∴，∴{bn}为等比数列；
当d=a1时，an=na1，，
∴，∴{bn}为等比数列；
综上可知{bn}为等比数列。
（Ⅱ）解：∵无穷等比数列{bn}各项的和，
∴|q|＜1，
由（Ⅰ）知，q=，d=a1，，
∴，∴a1=3，
∴。

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已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列。又，n=1，2，3，…，（Ⅰ）证明{bn}为等比数列；（Ⅱ）如果无穷等比数列{bn}各项的和S=，求数列{an}的首项a1

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