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设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(n≥3，n∈N)是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d(d≠0)的等差

题目简介

设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(n≥3，n∈N)是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d(d≠0)的等差

题目详情

设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(n≥3，n∈N) 是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列，其中O是坐标原点。记Sn=a1+a2+…+an，
（1）若C的方程为-y2=1，n=3，点P1(3，0) 及S3=162，求点P3的坐标；(只需写出一个)
（2）若C的方程为y2=2px(p≠0)，点P1(0，0)，对于给定的自然数n，证明：(x1+p)2，(x2+p)2，…，(xn+p)2成等差数列；
（3）若C的方程为(a＞b＞0)，点P1(a，0)，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值。
题型：解答题难度：偏难来源：上海高考真题

答案

解：(1)a1=2=9，
由S3=(a1+a3)=162，得a3=3=99，
由，得，
∴点P3的坐标可以为(3，3)。
(2)对每个自然数k，1≤k≤n，
由题意2=(k-1)d，及，得，
即(xk+p)2=p2+(k-1)d，
∴(x1+p)2，(x2+p)2，…，(xn+p)2是首项为p2，公差为d的等差数列；
(3)原点O到二次曲线C：(a＞b＞0)上各点的最小距离为b，最大距离为a，
∵a1=2=a2，
∴d＜0，且an=2=a2+(n-1)d≥b2，
∴≤d＜0，
∵n≥3，＞0，
∴Sn=na2+d在[，0)上递增，
故Sn的最小值为。

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