首页 > 函数f（x）是定义在[0，1]上的增函数，满足f(x)=2f(x2)且f（1）=1，在每个区间(12i，12i-1]（i=1，2…）上，y=f（x）的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分．（1）求f

函数f（x）是定义在[0，1]上的增函数，满足f(x)=2f(x2)且f（1）=1，在每个区间(12i，12i-1]（i=1，2…）上，y=f（x）的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分．（1）求f

题目简介

函数f（x）是定义在[0，1]上的增函数，满足f(x)=2f(x2)且f（1）=1，在每个区间(12i，12i-1]（i=1，2…）上，y=f（x）的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分．（1）求f

题目详情

函数f（x）是定义在[0，1]上的增函数，满足f(x)=2f(
x
2
)且f（1）=1，在每个区间(
1
2i
，
1
2i-1
]（i=1，2…）上，y=f（x）的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分．
（1）求f（0）及f(
1
2
)，f(
1
4
)的值，并归纳出f(
1
2i
)(i=1，2，…)的表达式
（2）设直线x=
1
2i
，x=
1
2i-1
，x轴及y=f（x）的图象围成的矩形的面积为ai（i=1，2…），记S(k)=
lim
n→∞
(a1+a2+…+an)，求S（k）的表达式，并写出其定义域和最小值．
题型：解答题难度：中档来源：北京

答案

（1）由f（0）=2f（0），得f（0）=0，
由f(1)=2f(class="stub"1
2
)及f（1）=1，得f(class="stub"1
2
)=class="stub"1
2
f(1)=class="stub"1
2
，
同理，f(class="stub"1
4
)=class="stub"1
2
f(class="stub"1
2
)=class="stub"1
4
，
归纳得f(class="stub"1
2i
)=class="stub"1
2i
(i=1，2，…)，
（2）当class="stub"1
2i
＜x≤class="stub"1
2i-1
时f(x)=class="stub"1
2i-1
+k(x-class="stub"1
2i-1
)ai=class="stub"1
2
[class="stub"1
2i-1
+class="stub"1
2i-1
+…+k(class="stub"1
2i
-class="stub"1
2i-1
)](class="stub"1
2i-1
-class="stub"1
2i
)=(1-class="stub"k
4
)class="stub"1
22i-1
(i=1，2，…)，
所以{an}是首项为class="stub"1
2
(1-class="stub"k
4
)，公比为class="stub"1
4
的等比数列，
所以S(k)=
lim
n→∞
(a1+a2+…+an)=
class="stub"1
2
(1-class="stub"k
4
)
1-class="stub"1
4
=class="stub"2
3
(1-class="stub"k
4
)S（k）的定义域为0＜k≤1，当k=1时取得最小值class="stub"1
2
．

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