数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn和1的等差中项,等差数列{bn}满足b1=a1,b4=S3.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;(2)设cn=1bnbn+1,数列{cn}的前n项和为T

题目简介

数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn和1的等差中项,等差数列{bn}满足b1=a1,b4=S3.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;(2)设cn=1bnbn+1,数列{cn}的前n项和为T

题目详情

数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn和1的等差中项,等差数列{bn}满足b1=a1,b4=S3
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)设cn=
1
bnbn+1
,数列{cn}的前n项和为Tn,证明:
1
3
Tn
1
2
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵an是Sn和1的等差中项,∴Sn=2an-1…(1分)
当n=1时,a1=S1=2a1-1,∴a1=1…(2分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1,
∴an=2an-1,即 
an
an-1
=2
…(3分)
∴数列{an}是以a1=1为首项,2为公比的等比数列,
an=2n-1Sn=2n-1…(5分)
设{bn}的公差为d,b1=a1=1,b4=1+3d=7,∴d=2…(7分)
∴bn=1+(n-1)×2=2n-1…(8分)
(2)cn=class="stub"1
bnbn+1
=class="stub"1
(2n-1)(2n+1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)
…(9分)
Tn=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
3
+class="stub"1
3
-class="stub"1
5
+…+class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n+1
)=class="stub"n
2n+1
…(10分)
∵n∈N*,∴Tn=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n+1
)<class="stub"1
2
…(11分)Tn-Tn-1=class="stub"n
2n+1
-class="stub"n-1
2n-1
=class="stub"1
(2n+1)(2n-1)
>0

∴数列{Tn}是一个递增数列                                           …(12分)
TnT1=class="stub"1
3
.…(13分)
综上所述,class="stub"1
3
Tn<class="stub"1
2
…(14分)

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