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已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=55，S20=210．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=anan+1，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N*），使得b1、bm、bk成等比

题目简介

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=55，S20=210．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=anan+1，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N*），使得b1、bm、bk成等比

题目详情

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=55，S20=210．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
an
an+1
，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N*），使得b1、bm、bk成等比数列．若存在，求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：广州二模

答案

（1）设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+
n(n-1)
2
d．（1分）
由已知，得
10a1+class="stub"10×9
2
d=55
20a1+class="stub"20×19
2
d=210.
（3分）
即
2a1+9d=11
2a1+19d=21.
解得
a1=1
d=1.
（5分）
所以an=a1+（n-1）d=n（n∈N*）．（6分）
（2）假设存在m、k（k＞m≥2，m，k∈N），使得b1、bm、bk成等比数列，
则bm2=b1bk．（7分）
因为bn=
an
an+1
=class="stub"n
n+1
，（8分）
所以b1=class="stub"1
2
，bm=class="stub"m
m+1
，bk=class="stub"k
k+1
．
所以(class="stub"m
m+1
)2=class="stub"1
2
×class="stub"k
k+1
．（9分）
整理，得k=
2m2
-m2+2m+1
．（10分）
因为k＞0，所以-m2+2m+1＞0．（11分）
解得1-
2
＜m＜1+
2
．（12分）
因为m≥2，m∈N*，
所以m=2，此时k=8．
故存在m=2、k=8，使得b1、bm、bk成等比数列．（14分）

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