若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a≠b)的四个根组成首项为14的等差数列,则a+b的值是______.-数学

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若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a≠b)的四个根组成首项为14的等差数列,则a+b的值是______.-数学

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若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a≠b)的四个根组成首项为
1
4
的等差数列,则a+b的值是______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

由题可知x1=class="stub"1
4
是方程的一个实根,
代入两个方程可得a=class="stub"3
16
或者b=class="stub"3
16

因为题目说a不等于b,所以取a=class="stub"3
16

x2-x+class="stub"3
16
=0
,得x1=class="stub"1
4
x2=class="stub"3
4

因为4个实根可以组成等差数列,
所有可以知道这4个实根可能是class="stub"1
4
,class="stub"2
4
,class="stub"3
4
,1
class="stub"1
4
,class="stub"3
4
,class="stub"5
4
,class="stub"7
4

也就是说class="stub"2
4
,1
class="stub"5
4
,class="stub"7
4
是方程x2-x+b=0的解.
然则代进去发现是错误的.
因此要考虑另外一种情况:
设x2-x+b=0的2实根为x3,x4,
4个实根组成的等差数列为class="stub"1
4
x3x4,class="stub"3
4

根据等差数列的公式可以得两个方程,
x3-class="stub"1
4
=class="stub"3
4
-x4
2x3=class="stub"1
4
+x4

解得x3=class="stub"5
12
x4=class="stub"7
12

代入原方程验证成立,
同时解得b=class="stub"35
144

也就是所a+b=class="stub"31
72

故答案为class="stub"31
72

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