已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,EF∥BC,AE=x,G是BC的中点,沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF

题目简介

已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,EF∥BC,AE=x,G是BC的中点,沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF

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已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,EF∥BC,AE=x,G是BC的中点,沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF(如图2)。
)当x=2时,求证:BD⊥EG;
(Ⅱ)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x),求f(x)的最大值;
(Ⅲ)当f(x)取得最大值时,求二面角D-BF-C的余弦值。
题型:解答题难度:偏难来源:0103 期末题

答案

解:(Ⅰ)∵平面AEFD⊥平面EBCF,又EF∥AD,∠AEF=
∴AE⊥EF,∴AE⊥平面EBCF,AE⊥EF,AE⊥BE,
又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz,
∵EA=2,∴EB=2,
又∵G为BC的中点,BC=4,
∴BG=2,则A(0,0,2),B(2,0,0),G(2,2,0),
D(0,2,2),E(0,0,0),
(-2,2,2),(2,2,0),
(-2,2,2)?(2,2,0)=0,
∴BD⊥EG。
(Ⅱ)∵AD∥面BFC,
所以


即x=2时,f(x)有最大值
(Ⅲ)设平面DBF的法向量为
∵AE=2, B(2,0,0),D(0,2,2), F(0,3,0),
(-2,2,2),


取x=3,y=2,z=1,∴
∵AE⊥面BCF,∴面BCF一个法向量为

由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角,
所以此二面角的余弦值为-

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