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已知集合M={1，2，3，…，n}（n∈N*），若集合A={a1，a2，a3，…，am}(m∈N*)，且对任意的b∈M，存在ai，aj∈A（1≤i≤j≤m），使得b=λ1ai+λ2aj（其中λ1，λ2

题目简介

已知集合M={1，2，3，…，n}（n∈N*），若集合A={a1，a2，a3，…，am}(m∈N*)，且对任意的b∈M，存在ai，aj∈A（1≤i≤j≤m），使得b=λ1ai+λ2aj（其中λ1，λ2

题目详情

已知集合M={1，2，3，…，n}（n∈N*），若集合A={a1，a2，a3，…，am}(m∈N*)，且对任意的b∈M，存在ai，aj∈A（1≤i≤j≤m），使得b=λ1ai+λ2aj（其中λ1，λ2∈{-1，0，1}），则称集合A为集合M的一个m元基底．
（Ⅰ）分别判断下列集合A是否为集合M的一个二元基底，并说明理由；
①A={1，5}M={1，2，3，4，5}；
②A={2，3}，M={1，2，3，4，5，6}．
（Ⅱ）若集合A是集合M的一个m元基底，证明：m（m+1）≥n；
（Ⅲ）若集合A为集合M={1，2，3，…，19}的一个m元基底，求出m的最小可能值，并写出当m取最小值时M的一个基底A．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）①A={1，5}不是M={1，2，3，4，5}的一个二元基底．理由是3≠λ1×1+λ2×5；
②A={2，3}是M={1，2，3，4，5}的一个二元基底．理由是
1=-1×2+1×3，2=1×2+0×3，3=0×2+1×3，4=1×2+1×2，5=1×2+1×3，6=1×3+1×3．           …3分
（Ⅱ）不妨设a1＜a2＜a3＜…＜am，则
形如1×ai+0×aj（1≤i≤j≤m）的正整数共有m个；
形如1×ai+1×ai（1≤i≤m）的正整数共有m个；
形如1×ai+1×aj（1≤i≤j≤m）的正整数至多有Cm2个；
形如-1×ai+1×aj（1≤i≤j≤m）的正整数至多有Cm2个．
又集合M={1，2，3，…，n}（n∈N*），含n个不同的正整数，A为集合M的一个m元基底．
故m+m+Cm2+Cm2≥n，即m（m+1）≥n．…8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知m（m+1）≥19，所以m≥4．
当m=4时，m（m+1）-19=1，即用基底中元素表示出的数最多重复一个．…*
假设A=a1，a2，a3，，a4为M={1，2，3，…，19}的一个4元基底，
不妨设a1＜a2＜a3＜a4，则a4≥10．
当a4=10时，有a3=9，这时a2=8或7．
如果a2=8，则由1=10-9，1=9-8，18=9+9，18=10+8，这与结论*矛盾．
如果a2=7，则a1=6或5．易知A={6，7，9，10}和A={5，7，9，10}都不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
当a4=11时，有a3=8，这时a2=7，a1=6，易知A={6，7，8，11}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
当a4=12时，有a3=7，这时a2=6，a1=5，易知A={5，6，7，12}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
当a4=13时，有a3=6，a2=5，a1=4，易知A={4，5，6，13}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
当a4=14时，有a3=5，a2=4，a1=3，易知A={3，4，5，14}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
当a4=15时，有a3=4，a2=3，a1=2，易知A={2，3，4，15}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
当a4=16时，有a3=3，a2=2，a1=1，易知A={1，2，3，16}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
当a4≥17时，A均不可能是M的4元基底．
当m=5时，M的一个基底A={1，3，5，9，16}．
综上所述，m的最小可能值为5．…14分

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