如果△ABC不是直角三角形,且A、B、C是△ABC的三个内角:(1)求证:tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC(2)如果sinA=45,cosB=1213,求cosC.-数学

题目简介

如果△ABC不是直角三角形,且A、B、C是△ABC的三个内角:(1)求证:tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC(2)如果sinA=45,cosB=1213,求cosC.-数学

题目详情

如果△ABC不是直角三角形,且A、B、C是△ABC的三个内角:
(1)求证:tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC
(2)如果sinA=
4
5
,cosB=
12
13
,求cosC.
题型:解答题难度:中档来源:汕头一模

答案

(1)证明:由题意知:A≠class="stub"π
2
B≠class="stub"π
2
C≠class="stub"π
2
,且A+B+C=π
∴tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC….…(1分)
又∵tan(A+B)=class="stub"tanA+tanB
1-tanAtanB
….…(2分)
∴tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)=-tanC(1-tanAtanB)=-tanC+tanAtanBtanC….…(4分)
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC….…(5分)
(2)由cosB=class="stub"12
13
>0
知道:B∈(0,class="stub"π
2
)

∵sin2B+cos2B=1,∴sinB=class="stub"5
13
….…(6分)
而sinA>sinB,∴A>B
①当A∈(0,class="stub"π
2
)时,cosA=class="stub"3
5
…(7分)
∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=class="stub"4
5
×class="stub"5
13
-class="stub"3
5
×class="stub"2
13
=-class="stub"16
65
….…(9分)
②当A∈(class="stub"π
2
,π)时,cosA=-class="stub"3
5
….…(10分)
∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=class="stub"4
5
×class="stub"5
13
-(-class="stub"3
5
)×class="stub"2
13
=class="stub"56
65
…(12分)

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