首页 > △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，关于x的方程x2-2ax+b2=0的两根为x1、x2，x轴上两点M、N的坐标分别为（x1，0）、（x2，0），其中M的坐标是（a+c，0）；P是y轴

△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，关于x的方程x2-2ax+b2=0的两根为x1、x2，x轴上两点M、N的坐标分别为（x1，0）、（x2，0），其中M的坐标是（a+c，0）；P是y轴

题目简介

△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，关于x的方程x2-2ax+b2=0的两根为x1、x2，x轴上两点M、N的坐标分别为（x1，0）、（x2，0），其中M的坐标是（a+c，0）；P是y轴

题目详情

△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，关于x的方程x2-2ax+b2=0的两根为x1、x2，x轴上两点M、N的坐标分别为（x1，0）、（x2，0），其中M的坐标是（a+c，0）；P是y轴上一点，点D（a，-c2）．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若S△MNP=3S△NOP，
①求sinB的值；
②判断△ABC的三边长能否取一组适当的值，使△MND是等腰直角三角形？如能，请求出这组值；如不能，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明：∵关于x的方程x2-2ax+b2=0的两根为x1、x2，
∴x1+x2=2a，①，
x1•x2=b2，②，
∵点M（a+c，0）
∴（a+c）2-2a（a+c）+b2=0（1分）
∴a2+2ac+c2-2a2-2ac+b2=0，
∴b2+c2=a2．（1分）
由勾股定理的逆定理得：△ABC为直角三角形且∠A=90°；（1分）

（2）①如图所示；
∵S△MNP=3S△NOP
∴MN=3ON即MO=4ON（1分）
又M（a+c，0），
∴N(class="stub"a+c
4
，0)
∴a+c，class="stub"a+c
4
是方程x2-2ax+b2=0的两根
∴(a+c)+class="stub"a+c
4
=2a，
∴c=class="stub"3
5
a（1分）
由（1）知：在△ABC中，∠A=90°
由勾股定理得b=class="stub"4
5
a，
∴sinB=class="stub"b
a
=class="stub"4
5
（1分）
②能．理由如下：（1分）
过D作DE⊥x轴于点E则NE=EM，DN=DM，
要使△MND为等腰直角三角形，只须ED=class="stub"1
2
MN=EM
∵M（a+c，0），D（a，-c2），
∴DE=c2，
EM=c
∴c2=c，
又c＞0，
∴c=1（1分）
由于c=class="stub"3
5
ab=class="stub"4
5
a，
∴a=class="stub"5
3
，b=class="stub"4
3
，（1分）
∴当a=class="stub"5
3
，b=class="stub"4
3
，c=1时，△MNP为等腰直角三角形．（1分）

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