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已知函数f（x）=ax+x2，g（x）=xlna．a＞1．（I）求证函数F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上单调递增；（II）若函数y=|F(x)-b+1b|-3有四个零点，求b的取值范围；（

题目简介

已知函数f（x）=ax+x2，g（x）=xlna．a＞1．（I）求证函数F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上单调递增；（II）若函数y=|F(x)-b+1b|-3有四个零点，求b的取值范围；（

题目详情

已知函数f（x）=ax+x2，g（x）=xlna．a＞1．
（I）求证函数F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上单调递增；
（II）若函数y=|F(x)-b+
1
b
|-3有四个零点，求b的取值范围；
（III）若对于任意的x1，x2∈[-1，1]时，都有|F(x2)-F(x1)|≤e2-2恒成立，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：潍坊二模

答案

（I）证明：∵函数f（x）=ax+x2，g（x）=xlna，
F（x）=ax+x2-xlna
求导函数，可得F′（x）=axlna+2x-lna=2x+（ax-1）lna，
由于a＞1，
∴lna＞0，当x＞0时，ax-1＞0，
∴F′（x）＞0，故函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）令F′（x）=2x+（ax-1）lna=0，得到x=0，
F′′（x）=ax（lna）2+2＞0，F′（x）为单调增函数，说明x=0是唯一的极值点，也是最小值点；F（0）=1，
∵F′（0）=0，∴当x＜0时，F′（x）＜0，为减函数；
F（x），F′（x）的变化情况如下表：
x（-∞，0）0（0，+∞）
F′（x）-0+
F（x）递减极小值1递增
∵函数y=|F(x)-b+class="stub"1
b
|-3=0，也即|F(x)-b+class="stub"1
b
|=3，有四个零点；
∴等价于方程
F(x)-b+class="stub"1
b
=3…①
F(x)-b+class="stub"1
b
=-3…②
有解，∵F（x）≥F（0）=1，
由①得，F（x）=3+b-class="stub"1
b
≥1，即
b2+2b-1
b
＞0，解得b＞
2
-1或-1-
2
＜b＜0；
由②得，F（x）=-3+b-class="stub"1
b
≥1，即
b2-4b-1
b
＞0，解得，b＞2+
5
或2-
5
＜b＜0；
综上得：b＞2+
5
或2-
5
＜b＜0；
（Ⅲ）问题等价于F（x）在[-1，1]的最大值与最小值之差小于等于e2-2．
由（Ⅱ）可知F（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，
∴F（x）的最小值为F（0）=1，最大值等于F（-1），F（1）中较大的一个，
F（-1）=class="stub"1
a
+1+lna，F（1）=a+1-lna，F（1）-F（-1）=a-class="stub"1
a
-2lna，
记g（t）=t-class="stub"1
t
-2lnt（t＞0），
∵g′（t）=1+class="stub"1
t2
-class="stub"2
t
=（class="stub"1
t
-1）2≥0（当t=1等号成立）
∴g（t）在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，
所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，
也就是当t＞1时，F（1）-F（-1）＞0，即F（1）＞F（-1）；
又由a＞1时，则F（x）的最小值为F（0）=1，最大值为F（1）=a+1-lna，
则|F(x2)-F(x1)|≤e2-2⇒F（1）-F（0）=a-lna≤e2-2，
令h（x）=x-lnx（x＞1），h′(x)=1-class="stub"1
x
=class="stub"x-1
x
在（1，+∞）上恒大于0，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，又a＞1，∴h（a）=a-lna≤e2-2=h（e2）
解得a≤e2；
则a的取值范围为a∈（1，e2]．

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