选修4-2:矩阵与变换已知矩阵M2134(1)求矩阵M的逆矩阵;(2)求矩阵M的特征值及特征向量.-数学

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选修4-2:矩阵与变换已知矩阵M2134(1)求矩阵M的逆矩阵;(2)求矩阵M的特征值及特征向量.-数学

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选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵M
21
34

(1)求矩阵M的逆矩阵;
(2)求矩阵M的特征值及特征向量.
题型:解答题难度:中档来源:江苏三模

答案

(1)矩阵的行列式为
.
21
34
.
=8-3=5,
∴求矩阵M的逆矩阵M-1=
class="stub"4
5
-class="stub"1
5
-class="stub"3
5
class="stub"2
5
.…(4分)
(2)矩阵A的特征多项式为矩阵M的特征多项式为f(λ)=
.
λ-2-1
-3λ-4
.
=λ2-6λ-5,
令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为1或5,…(6分)
当λ=1时 由二元一次方程
-x-y=0
-3x-3y=0
得x+y=0,令x=1,则y=-1,
所以特征值λ=1对应的特征向量为
α1
=
1
-1
.…(8分)
当λ=5时 由二元一次方程
3x-y=0
-3x+y=0
得3x-y=0,
令x=1,则y=3,
所以特征值λ=5对应的特征向量为
α2
=
1
3
.…(10分)

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