设函数f(x)=x+px(p>0).(1)若P=4,判断f(x)在区间(0,2)的单调性,并加以证明;(2)若f(x)在区间(0,2)上为单调减函数,求实数P的取值范围;(3)若p=8,方程f(x)=

题目简介

设函数f(x)=x+px(p>0).(1)若P=4,判断f(x)在区间(0,2)的单调性,并加以证明;(2)若f(x)在区间(0,2)上为单调减函数,求实数P的取值范围;(3)若p=8,方程f(x)=

题目详情

设函数f(x)=x+
p
x
(p>0).
(1)若P=4,判断f(x)在区间(0,2)的单调性,并加以证明;
(2)若f(x)在区间(0,2)上为单调减函数,求实数P的取值范围;
(3)若p=8,方程f(x)=3a-264在x∈(0,2)内有实数根,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由p=4知,f(x)=x+class="stub"4
x
,f(x)在(0 2)内是减函数.
证明:任意设 0<x1<x2<2,
由于f(x1)-f(x2)=(x1+class="stub"4
x1
)-(x2+class="stub"4
x2
)=-(x2-x1)+
4(x2-x1)
x1•x2

=(x2-x1)(class="stub"4
x1•x2
-1)=(x2-x1)•
4-x1•x2
x1•x2

由题设可得 (x2-x1)>0,0<x1•x2<4,∴
4-x1•x2
x1•x2
>0,
故f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),故f(x)在(0 2)内是减函数.
(2)若f(x)在区间(0,2)上为单调减函数,任意设 0<x1<x2<2,
则可得f(x1)-f(x2)=(x2-x1)•
p-x1•x2
x1•x2
>0.
由题设可得 (x2-x1)>0,0<x1•x2<4,∴p≥4.
(3)由p=8,可得f(x)=x+class="stub"8
x

由(2)可知f(x)在(0,2)上单调递减,∴f(x)>f(2)=2+class="stub"8
2
=6,即 f(x)>6.
故由方程f(x)=3a-264在x∈(0,2)内有实数根,可得3a-264>6,解得a>90,故a的范围为(90,+∞).

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