已知函数f(x)=2x-1mx+1(x∈R),且f(3)=79.(1)判断函数y=f(x)在R上的单调性,并给出证明;(2)若f(2×3x-2)>f(7-3x),求x的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=2x-1mx+1(x∈R),且f(3)=79.(1)判断函数y=f(x)在R上的单调性,并给出证明;(2)若f(2×3x-2)>f(7-3x),求x的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
2x-1
mx+1
(x∈R),且f(3)=
7
9

(1)判断函数y=f(x)在R上的单调性,并给出证明;
(2)若f(2×3x-2)>f(7-3x),求x的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由已知得
23-1
m3+1
=class="stub"7
9
,m3=8,∴m=2…(3分)
f(x)=
2x-1
2x+1
=
2x+1-2
2x+1
=1-class="stub"2
2x+1

任取x1,x2∈R,且x1<x2…(4分)
f(x2)-f(x1)=1-class="stub"2
2x2+1
-(1-class="stub"2
2x1+1
)
…(6分)
=class="stub"2
2x1+1
-class="stub"2
2x2+1
=
2(2x2-2x1)
(2x1+1)(2x2+1)
…(8分)
(2x1+1)>0,(2x2+1)>0,∴(2x1+1)(2x2+1)>0
又∵x2>x1,∴2x22x1,∴2x2-2x1>0…(10分)
2(2x2-2x1)
(2x1+1)(2x2+1)
>0

即f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1)
∴函数y=f(x)在R上为单调增函数.                       …(12分)
(2)∵f(2×3x-2)>f(7-3x),
由(1)知函数y=f(x)在R上为单调增函数,
∴2×3x-2>7-3x,…(14分)
化简得3x>3,…(15分)
∴x>1,∴不等式f(2×3x-2)>f(7-3x)的解集为(1,+∞).   …(16分)

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