首页 > 已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）

题目简介

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）

题目详情

已知定义域为[0，1]的函数f （x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）试求f（0）的值；
（2）试求函数f （x）的最大值；
（3）试证明：当x∈(
1
4
，
1
2
]时，f（x）＜2x．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）令x1=x2=0，依条件③可得f（0+0）≥2f（0），即f（0）≤0
又由条件（1）得f（0）≥0 故f（0）=0（4分）
（2）任取0≤x1＜x2≤1可知x2-x1∈（0，1]，则
f（x2）=f[（x2-x1）+x1]≥f（x2-x1）+f（x1）≥f（x1）
于是当0≤x≤1时，有f（x）≤f（1）=1因此当x=1时，f（x）取最大值1．（9分）
（3）证明：当x∈(class="stub"1
2
，1]时，f（x）≤f（1）=1
当x∈(class="stub"1
4
，class="stub"1
2
]时，class="stub"1
2
＜2x≤1，f（2x）≤1，f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x）
∴f（x）≤class="stub"1
2
f（2x）≤class="stub"1
2
＜2x   即f（x）＜2x．（14分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网