已知函数f(x)=12x2-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)+3x,其中a∈R且a>1.(I)求函数f(x)的导函数f′(x)的最小值;(II)当a=3时,求函数h

题目简介

已知函数f(x)=12x2-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)+3x,其中a∈R且a>1.(I)求函数f(x)的导函数f′(x)的最小值;(II)当a=3时,求函数h

题目详情

已知函数f(x)=
1
2
x2-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)+3x,其中a∈R且a>1.
(I)求函数f(x)的导函数f′(x)的最小值;
(II)当a=3时,求函数h(x0的单调区间及极值;
(III)若对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,函数h(x)满足
h(x1)-h(x2)
x1-x2
>-1
,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)f′(x)=x-3+class="stub"a-1
x
=x+class="stub"a-1
x
-3
,其中x>0.
因为a>1,所以a-1>0,又x>0,所以x+class="stub"a-1
x
-3≥2
a-1
-3

当且仅当x=
a-1
时取等号,其最小值为2
a-1
-3
.…(4分)
(II)当a=3时,h(x)=class="stub"1
2
x2+2lnx-3x
h′(x)=x+class="stub"2
x
-3=
(x-1)(x-2)
x
.…..(6分)
x,h′(x),h(x)的变化如下表:
x(0,1)1(1,2)2(2,+∞)
h′(x)+0-0+
h(x)递增-class="stub"5
2
递减2ln2-4递增
所以,函数h(x)的单调增区间是(0,1),(2,+∞);单调减区间是(1,2).
….(8分)
函h(x)在x=1处取得极大值-class="stub"5
2
,在x=2处取得极小2ln2-4.
….(10分)
(III)由题意h(x)=class="stub"1
2
x2+(a-1)lnx-ax(a>0)

不妨设x1<x2,则
h(x1)-h(x2)
x1-x2
>-1
得h(x1)+x1<h(x2)+x2.…(12分)
F(x)=h(x)+x=h(x)=class="stub"1
2
x2+(a-1)lnx-ax+x
,则函数F(x)在(0,+∞)单调递增.
F′(x)=x-(a-1)+class="stub"a-1
x
=
x2-(a-1)x+a-1
x
≥0
在(0,+∞)恒成立.
即G(x)=x2-(a-1)x+a-1≥0(在0,+∞)恒成立.
因为G(0)=a-1>0,class="stub"a-1
2
>0
,因此,只需△=(a-1)2-4(a-1)≤0.
解得1<a≤5.
故所求实数a的取值范围1<a≤5.….(14分)

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