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> 已知函数f(x)=12x2-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)+3x,其中a∈R且a>1.(I)求函数f(x)的导函数f′(x)的最小值;(II)当a=3时,求函数h
已知函数f(x)=12x2-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)+3x,其中a∈R且a>1.(I)求函数f(x)的导函数f′(x)的最小值;(II)当a=3时,求函数h
题目简介
已知函数f(x)=12x2-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)+3x,其中a∈R且a>1.(I)求函数f(x)的导函数f′(x)的最小值;(II)当a=3时,求函数h
题目详情
已知函数f(x)=
1
2
x
2
-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)+3x,其中a∈R且a>1.
(I)求函数f(x)的导函数f′(x)的最小值;
(II)当a=3时,求函数h(x0的单调区间及极值;
(III)若对任意的x
1
,x
2
∈(0,+∞),x
1
≠x
2
,函数h(x)满足
h(
x
1
)-h(
x
2
)
x
1
-
x
2
>-1
,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(I)
f′(x)=x-3+
class="stub"a-1
x
=x+
class="stub"a-1
x
-3
,其中x>0.
因为a>1,所以a-1>0,又x>0,所以
x+
class="stub"a-1
x
-3≥2
a-1
-3
,
当且仅当
x=
a-1
时取等号,其最小值为
2
a-1
-3
.…(4分)
(II)当a=3时,
h(x)=
class="stub"1
2
x
2
+2lnx-3x
,
h′(x)=x+
class="stub"2
x
-3=
(x-1)(x-2)
x
.…..(6分)
x,h′(x),h(x)的变化如下表:
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,+∞)
h′(x)
+
0
-
0
+
h(x)
递增
-
class="stub"5
2
递减
2ln2-4
递增
所以,函数h(x)的单调增区间是(0,1),(2,+∞);单调减区间是(1,2).
….(8分)
函h(x)在x=1处取得极大值
-
class="stub"5
2
,在x=2处取得极小2ln2-4.
….(10分)
(III)由题意
h(x)=
class="stub"1
2
x
2
+(a-1)lnx-ax(a>0)
.
不妨设x1<x2,则
h(
x
1
)-h(
x
2
)
x
1
-
x
2
>-1
得h(x1)+x1<h(x2)+x2.…(12分)
令
F(x)=h(x)+x=h(x)=
class="stub"1
2
x
2
+(a-1)lnx-ax+x
,则函数F(x)在(0,+∞)单调递增.
F′(x)=x-(a-1)+
class="stub"a-1
x
=
x
2
-(a-1)x+a-1
x
≥0
在(0,+∞)恒成立.
即G(x)=x2-(a-1)x+a-1≥0(在0,+∞)恒成立.
因为
G(0)=a-1>0,
class="stub"a-1
2
>0
,因此,只需△=(a-1)2-4(a-1)≤0.
解得1<a≤5.
故所求实数a的取值范围1<a≤5.….(14分)
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已知函数为偶函数,且当时,,则当时
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函数是定义在实数集上的偶函数,且在上是减函数,若,则实数的取值范围是-高三数学
已知为上的奇函数,当时,,则当时,____________________.-高一数学
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题目简介
已知函数f(x)=12x2-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)+3x,其中a∈R且a>1.(I)求函数f(x)的导函数f′(x)的最小值;(II)当a=3时,求函数h
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(I)求函数f(x)的导函数f′(x)的最小值;
(II)当a=3时,求函数h(x0的单调区间及极值;
(III)若对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,函数h(x)满足
答案
因为a>1,所以a-1>0,又x>0,所以x+
当且仅当x=
(II)当a=3时,h(x)=
x,h′(x),h(x)的变化如下表:
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函h(x)在x=1处取得极大值-
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(III)由题意h(x)=
不妨设x1<x2,则
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即G(x)=x2-(a-1)x+a-1≥0(在0,+∞)恒成立.
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解得1<a≤5.
故所求实数a的取值范围1<a≤5.….(14分)