有定点P(6,4)及定直线l:y=4x,Q是l上在第一象限内的点.PQ交x轴的正半轴于M点,问点Q在什么位置时,△OMQ的面积最小,并求出最小值.-数学

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有定点P(6,4)及定直线l:y=4x,Q是l上在第一象限内的点.PQ交x轴的正半轴于M点,问点Q在什么位置时,△OMQ的面积最小,并求出最小值.-数学

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有定点P(6,4)及定直线l:y=4x,Q是l上在第一象限内的点.PQ交x轴的正半轴于M点,问点Q在什么位置时,△OMQ的面积最小,并求出最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

设Q(a,4a),则直线PQ的方程为y-4=class="stub"4-4a
6-a
(x-6),
令y=0,得到x=OM=class="stub"5a
a-1

所以当a>1,即a+1>0,a-1>0时,
△OMQ的面积S=class="stub"1
2
×class="stub"5a
a-1
×4a=
10a2-10+10
a-1
=10(a+1)+class="stub"10
a-1
≥20
class="stub"a+1
a-1

当且仅当10(a+1)=class="stub"10
a-1
,即a=
2
时取等号,
所以当Q的坐标为(
2
,4
2
)时,面积S的最小值为20
class="stub"a+1
a-1
=20
2
+1
2
-1
=20(
2
+1),

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