首页 > 如图，在梯形ABCD中，AB∥C，AD=DC=CB=1，∠ABC═60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）求二面角A-BF-C的平面角

如图，在梯形ABCD中，AB∥C，AD=DC=CB=1，∠ABC═60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）求二面角A-BF-C的平面角

题目简介

如图，在梯形ABCD中，AB∥C，AD=DC=CB=1，∠ABC═60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）求二面角A-BF-C的平面角

题目详情

如图，在梯形ABCD中，AB∥C，AD=DC=CB=1，∠ABC═60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）求二面角A-BF-C的平面角的余弦值；
（3）若点M在线段EF上运动，设平MAB与平FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，
∴AB=2，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos60°=3，
∴AB2=AC2+BC2，∴BC⊥AC，
∵平面ACFE⊥平面ABCD，
平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE．
（2）取FB中点G，连接AG，CG，
∵AF=
AC2+CF2
=2，∴AB=AF，∴AG⊥FB，
∵CF=CB=1，∴CG⊥FB，∴∠AGC=θ，
∵BC=CF，∴FB=
2
，∴CG=
2
2
，AG=
14
2
，
∴cosθ=
CG2+AG2-AC2
2CG•AG
=
7
7
．
（3）由（2）知：
①当M与F重合时，cosθ=
7
7
．
②当M与E重合时，过B作BN∥CF，且使BN=CF，
连接EN，FN，则平面MAB∩平面FCB，
∵BC⊥CF，AC⊥CF，∴CF⊥平面ABC，∴BN⊥平面ABC，
∴∠ABC=θ，∴θ=60°，∴cosθ=class="stub"1
2
．
③当M与E，F都不重合时，令FM=λ，0＜λ＜
3
，
延长AM交CF的延长线于N，连接BN，
∴N在平面MAB与平面FCB的交线上，
∵B在平面MAB与平面FCB的交线上，
∴平面MAB∩平面FCB=BN，
过C作CH⊥NB交NB于H，连接AH，
由（1）知，AC⊥BC，
又∵AC⊥CN，∴AC⊥平面NCB，∴AC⊥NB，
又∵CH⊥NB，AC∩CH=C，∴NB⊥平面ACH，
∴AH⊥NB，∴∠AHC=θ，
在△NAC中，NC=
3
3
-λ
，
从而在△NCB中，CH=
3
(λ-
3
)2+3
，
∵∠ACH=90°，∴AH=
AC2+CH2
=
3
•
(λ-
3
)2+4
(λ-
3
)2+3
，
∴cosθ=class="stub"CH
AH
=class="stub"1
(λ-
3
)2+4
，
∵0＜λ＜
3
，
∴
7
7
＜cosθ＜class="stub"1
2
，
综上所述，cosθ∈[
7
7
，class="stub"1
2
]．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网