首页 > 如图：已知△PAB所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且PA=PB=22AB，∠ABC=60°，E为AB的中点．（Ⅰ）证明：CE⊥PA；（Ⅱ）若F为线段PD上的点，且EF与平面PEC的夹角为45°

如图：已知△PAB所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且PA=PB=22AB，∠ABC=60°，E为AB的中点．（Ⅰ）证明：CE⊥PA；（Ⅱ）若F为线段PD上的点，且EF与平面PEC的夹角为45°

题目简介

如图：已知△PAB所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且PA=PB=22AB，∠ABC=60°，E为AB的中点．（Ⅰ）证明：CE⊥PA；（Ⅱ）若F为线段PD上的点，且EF与平面PEC的夹角为45°

题目详情

如图：已知△PAB所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且PA=PB=
2
2
AB，∠ABC=60°，E为AB的中点．   
（Ⅰ）证明：CE⊥PA；
（Ⅱ）若F为线段PD上的点，且EF与平面PEC的夹角为45°，求平面EFC与平面PBC夹角的余弦值．360优课网
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案


360优课网
（Ⅰ）证明：在菱形ABCD中，∵∠ABC=60°
∴△ABC为正三角形，
又∵E为AB的中点
∴CE⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，AB为平面PAB与平面ABCD的交线，
∴CE⊥平面PAB，
又∵PA⊂平面PAB
∴CE⊥PA…（4分）
（Ⅱ）∵PA=PB，E为AB的中点，
∴PE⊥AB，
又∵PE⊥CE，AB∩CE=E
∴PE⊥平面ABCD，
以E为坐标原点，EB，EC，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示
设AB=2，则PA=PB=
2
，EP=EA=EB=1，EC=
3
，
∴E（0，0，0），B（1，0，0，），C（0，
3
，0），P（0，0，1），D（-2，
3
，0）
设
EF
=
EP
+k
PD
，其中0≤k≤1，则
EF
=(-2k，
3
k，1-k)，
∵
EB
=(1，0，0)为平面PEC的法向量，
∴
2
2
=|cos(
EF
，
EB)|
，得k=class="stub"1
2
，
即F是PD的中点，∴F（-1，
3
2
，class="stub"1
2
）…（9分）
设
n
=(x，y，z)为平面EFC的法向量，则
n
•
EF
=0
n
•
EC
=0

-x+
3
2
y+class="stub"1
2
z=0
3
y=0
 令z=2，得x=1，取
n
=(1，0，2)，
设
m
=(x1，y1，z1)为平面PBC的法向量，则
m
•
PB
=0
m
•
PC
=0
 得出
x1-z1=0
3
y1-z1=0

令z1=1，得x1=1，y1=
3
3
，取
m
=(1，
3
3
，1)，
设平面EFC与平面PBC夹角为θ，则cosθ=|cos（
n
，
m
）|=|
n
•
m
|
n
|•|
m
|
|=
3
105
35
…（12分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网