如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等边三角形,侧棱AA1⊥平面ABC,AB=2,AA1=23,D、E分别为AA1、BC1的中点.(Ⅰ)求证:DE⊥平面BB1C1C;(Ⅱ)求三棱锥C-BC

题目简介

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等边三角形,侧棱AA1⊥平面ABC,AB=2,AA1=23,D、E分别为AA1、BC1的中点.(Ⅰ)求证:DE⊥平面BB1C1C;(Ⅱ)求三棱锥C-BC

题目详情

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等边三角形,侧棱AA1⊥平面ABC,AB=2,AA1=2
3
,D、E分别为AA1、BC1的中点.
(Ⅰ)求证:DE⊥平面BB1C1C;
(Ⅱ)求三棱锥C-BC1D的体积.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

(I)证明:如图
取BC,B1C1的中点F、G,连结FG、AF,∴AF⊥BC,
又AA1⊥平面ABC,BB1AA1
∴BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AF;
B1B∩BC=B,
∴AF⊥平面BB1C1C,
又ADEF,且AD=EF=class="stub"1
2
AA1,∴DEAF
∴DE⊥平面BB1C1C.
(II)由(Ⅰ)知,DE⊥平面BB1C1C,∴DE是三棱锥C-BC1D底面BCC1上的高,
又DEAF,且DE=AF=
3
2
AB=
3
2
×2=
3

S△BCC1=class="stub"1
2
×BC×CC1=class="stub"1
2
×2×2
3
=2
3

∴三棱锥C-BC1D的体积为:
V三棱锥C-BC1C=class="stub"1
3
×S△ABC×DE=class="stub"1
3
×2
3
×
3
=2.

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