如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）CD⊥AE；（Ⅱ）PD⊥平面ABE．-数学

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如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中点．求证：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE． 360优课网

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，PA∩AC=A，
故CD⊥平面PAC．
又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．
（Ⅱ）由题意：AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，从而AB⊥PD．
又AB=BC，且∠ABC=60°，
∴AC=AB，从而AC=PA．
又E为PC之中点，∴AE⊥PC．
由（Ⅰ）知：AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而AE⊥PD．
又AB∩AE=A，
故PD⊥平面ABE．

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如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）CD⊥AE；（Ⅱ）PD⊥平面ABE．-数学

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