首页 > 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点．（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求二面角D-A1C-A的余弦值．-

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点．（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求二面角D-A1C-A的余弦值．-

题目简介

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点．（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求二面角D-A1C-A的余弦值．-

题目详情

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点．
（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C；
（Ⅱ）求二面角D-A1C-A的余弦值．360优课网
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案


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（Ⅰ）证明：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，
所以AA1⊥AC，AA1⊥AB，
所以AA1⊥平面ABC，三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱．
因为A1D⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1D，
又因为A1B1=A1C1，D为B1C1中点，
所以A1D⊥B1C1．
因为CC1∩B1C1=C1，
所以A1D⊥平面BB1C1C．--------（6分）
（Ⅱ）因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA1两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A-xyz．
设AB=1，则C(0，1，0)， B(1，0，0)， A1(0，0，1)， D(class="stub"1
2
，class="stub"1
2
，1).
A1D
=(class="stub"1
2
，class="stub"1
2
，0)， 
A1C
=(0，1，-1)，
设平面A1DC的法向量为
n
=(x，y，z)，则有
n
•A1D=0
n
•A1C=0
，
x+y=0
y-z=0
，x=-y=-z，
取x=1，得
n
=(1，-1，-1)．
又因为|
n
•
AB
|
n
||
AB
|
|=class="stub"1
3
=
3
3
，AB⊥平面ACC1A1，
所以平面ACC1A1的法向量为     
AB
=(1，0，0)，因为二面角D-A1C-A是钝角，
所以，二面角D-A1C-A的余弦值为-
3
3
．-------------（12分）

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