如图:已知直棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=6,M是CC1的中点.求证:AB1⊥A1M.-数学

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如图:已知直棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=6,M是CC1的中点.求证:AB1⊥A1M.-数学

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如图:已知直棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=
6
,M是CC1的中点.求证:AB1⊥A1M.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:云南

答案

证明:连接AC1
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=
6

A1M=
3+(
6
2
)
2
=
3
3
2

Rt△A1C1M中,tan∠A1MC1=
A1C1
MC1
=
3
6
2
=
2

Rt△AA1C1中,tan∠AC1A1=
AA1
A1C1
=
6
3
=
2

∴tan∠MA1C1=tan∠AC1A1 即∠AC1A1=∠A1MC1     
∴A1M⊥AC1
∵B1C1⊥A1C1,B1C1⊥CC1且AC1∩CC1=C1
∴B1C1⊥平面AA1C1且MA1⊂面AA1C1
∴B1C1⊥MA1,又AC1∩B1C1是=C1
根据线面垂直的判定定理可知MA1⊥平面AB1C1
∴AB1⊥A1M

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