首页 > 在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面Q

在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面Q

题目简介

在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面Q

题目详情

在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．360优课网
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）证明：∵AB=2BC，∠ABC=60°，
在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos60°=3BC2，
∴AC2+BC2=4BC2=AB2，∴∠ACB=90°．
∴AC⊥BC．
又∵AC⊥FB，FB∩BC=B，
∴AC⊥平面FBC．
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（Ⅱ）
线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．
证明如下：
因为AC⊥平面FBC，所以AC⊥FC．
因为CD⊥FC，所以FC⊥平面ABCD．
所以CA，CF，CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C-xyz．
在等腰梯形ABCD中，可得 CB=CD．
设BC=1，所以C(0，0，0)，A(
3
，0，0)，B(0，1，0)，D(
3
2
，-class="stub"1
2
，0)，E(
3
2
，-class="stub"1
2
，1)．
所以
CE
=(
3
2
，-class="stub"1
2
，1)，
CA
=(
3
，0，0)，
CB
=(0，1，0)．
设平面EAC的法向量为
n
=（x，y，z），则
n
•
CE
=0
n
•
CA
=0
，
所以
3
2
x-class="stub"1
2
y+z=0
3
x=0
取z=1，得
n
=（0，2，1）．
假设线段ED上存在点Q，设Q(
3
2
，-class="stub"1
2
，t)(0≤t≤1)，所以
CQ
=(
3
2
，-class="stub"1
2
，t)．
设平面QBC的法向量为
m
=（a，b，c），则
m
•
CB
=0
m
•
CQ
=0

所以
b=0
3
2
a-class="stub"1
2
b+tc=0
取c=1，得
m
=(-class="stub"2t
3
，0，1)．
要使平面EAC⊥平面QBC，只需
m
•
n
=0，
即 -class="stub"2
3
t×0+0×2+1×1=0，此方程无解．
所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．

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