首页 > 四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，AP=2，∠BAD=120°，E为PC中点．（Ⅰ）证明：AC⊥面BED；（Ⅱ）求二面角E-AB-C的平面角的余弦值．-数学

四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，AP=2，∠BAD=120°，E为PC中点．（Ⅰ）证明：AC⊥面BED；（Ⅱ）求二面角E-AB-C的平面角的余弦值．-数学

题目简介

四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，AP=2，∠BAD=120°，E为PC中点．（Ⅰ）证明：AC⊥面BED；（Ⅱ）求二面角E-AB-C的平面角的余弦值．-数学

题目详情

四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，AP=
2
，∠BAD=120°，E为PC中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥面BED；
（Ⅱ）求二面角E-AB-C的平面角的余弦值．360优课网
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案


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（Ⅰ）设O为底面ABCD的中心，连接EO，
∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD
∵△PAC中，E、O分别是PC、PA的中点
∴EO∥PA
又∵PA⊥面ABCD，
∴EO⊥面ABCD
∵AC⊂面ABCD，∴AC⊥EO
又∵BD、EO是平面BED内的两条相交直线
∴AC⊥面BED（6分）
（Ⅱ）以A为原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得A(0，0，0)，B(
3
2
，-class="stub"1
2
，0)，C(
3
2
，class="stub"1
2
，0)，E(
3
4
，class="stub"1
4
，
2
2
)
∴
AB
=(
3
2
，-class="stub"1
2
，0)，
AE
=(
3
4
，class="stub"1
4
，
2
2
)，
AC
=(
3
2
，class="stub"1
2
，0)（8分）
设
n1
=(x1，y1，z1)是平面ABE一个法向量
由
n1
•
AB
=x1•
3
2
+y1•(-class="stub"1
2
)+z1•0=0
n1
•
AE
=x1•
3
4
+y1•class="stub"1
4
+z1•
2
2
=0     
，解得
y1=
3
x1
z1=-
6
2
x1
，
所以取x1=1，y1=
3
，z1=-
6
2
，可得
n1
=(1，
3
，-
6
2
)，
因为PA⊥平面ABC，所以向量
PA
即为平面ABC的一个法向量，设
PA
=
n2
=(0，0，
2
)（10分）
∴cos＜n1，n2＞=
n1
•
n2
|n1|
|n2|
=
-
6
2
×
2
 
  1+3+class="stub"3
2
•
2
=-
33
11

根据题意可知：二面角E-AB-C是锐二面角，其余弦值等于|cos＜n1，n2＞|=
33
11

∴二面角E-AB-C的平面角的余弦值为
33
11
．（12分）

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