如图,已知几何体的下部是一个底面是边长为2的正六边形、侧面全为正方形的棱柱,上部是一个侧面全为等腰三角形的棱锥,其侧棱长都为13.(1)证明:DF1⊥平面PA1F1;(2)求异面直线-数学

题目简介

如图,已知几何体的下部是一个底面是边长为2的正六边形、侧面全为正方形的棱柱,上部是一个侧面全为等腰三角形的棱锥,其侧棱长都为13.(1)证明:DF1⊥平面PA1F1;(2)求异面直线-数学

题目详情

如图,已知几何体的下部是一个底面是边长为2的正六边形、侧面全为正方形的棱柱,上部是一个侧面全为等腰三角形的棱锥,其侧棱长都为
13

(1)证明:DF1⊥平面PA1F1
(2)求异面直线DF1与B1C1所成角的余弦值.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:佛山二模

答案


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(1)∵侧面全为矩形,∴AF⊥FF1;
在正六边形ABCDEF中,AF⊥DF,…(1分)
又DF∩FF1=F,∴AF⊥平面DFF1;        …(2分)
∵AFA1F1,∴A1F1⊥平面DFF1;
又DF1⊂平面DFF1,∴A1F1⊥DF1;…(5分)
在△DFF1中,FF1=2,DF=2
3
,∴DF1=4,
PF1=PD1=
13

∴在平面PA1ADD1中,如图所示,PD=
52+22
=
29

∴DF12+PF12=PD2,故DF1⊥PF1;                        …(7分)
又A1F1∩PF1=F1,∴DF1⊥平面PA1F1.             …(8分)
(2)
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以底面正六边形ABCDEF的中心为坐标原点O,以OD为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
所以D(0,2,0),B1(
3
,-1,2)
C1(
3
,1,2)
F1(-
3
,-1,2)

B1C1
=(0,2,0)
DF1
=(-
3
,-3,2)
,…(11分)
设异面直线DF1与B1C1所成角为θ,则θ∈(0,class="stub"π
2
]

cosθ=|cos<
B1C1
DF1
>|=|
B1C1
DF1
|
B1C1
|•|
DF1
|
|=|class="stub"-6
2×4
|=class="stub"3
4
…(13分)
异面直线DF1与B1C1
所成角的余弦值为class="stub"3
4
.                                  …(14分)

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