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在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点．证明：（1）AB1∥GE，AB1⊥EH；（2）A1G⊥平面EFD．-数学

题目简介

在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点．证明：（1）AB1∥GE，AB1⊥EH；（2）A1G⊥平面EFD．-数学

题目详情

在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点．证明：
（1）AB1∥GE，AB1⊥EH；
（2）A1G⊥平面EFD．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案


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证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0），D（0，1，0）、A1（0，0，1）、B1（1，0，1）、C1（1，1，1）、D1（0，1，1），
由中点性质得E（1，1，class="stub"1
2
）、F（1，class="stub"1
2
，0），G（class="stub"1
2
，1，0）、H（class="stub"1
2
，class="stub"1
2
，1）．
（1）则
AB1
=（1，0，1），
GE
=（class="stub"1
2
，0，class="stub"1
2
），
EH
=（-class="stub"1
2
，-class="stub"1
2
，class="stub"1
2
）
∵
AB1
=2
GE
，
AB1
•
EH
=1×（-class="stub"1
2
）+1×class="stub"1
2
=0，
∴
AB1
∥
GE
，
AB1
⊥
EH
．
即AB1∥GE，AB1⊥EH．
（2）∵
A1G
=（class="stub"1
2
，1，-1），
DF
=（1，-class="stub"1
2
，0），
DE
=（1，0，class="stub"1
2
），
∴
A1G
•
DF
=class="stub"1
2
-class="stub"1
2
+0=0，
A1G
•
DE
=class="stub"1
2
+0-class="stub"1
2
=0，
∴A1G⊥DF，A1G⊥DE．
又DF∩DE=D，
∴A1G⊥平面EFD．

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