首页 > 在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BE⊥平面ABCD，AB=BC=BE=2AD=2．（Ⅰ）求异面直线DE与AC所成角的大小；（Ⅱ）在线段CE上是否存在点F，使平面BDF⊥平面ADE，若

在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BE⊥平面ABCD，AB=BC=BE=2AD=2．（Ⅰ）求异面直线DE与AC所成角的大小；（Ⅱ）在线段CE上是否存在点F，使平面BDF⊥平面ADE，若

题目简介

在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BE⊥平面ABCD，AB=BC=BE=2AD=2．（Ⅰ）求异面直线DE与AC所成角的大小；（Ⅱ）在线段CE上是否存在点F，使平面BDF⊥平面ADE，若

题目详情

在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BE⊥平面ABCD，AB=BC=BE=2AD=2．
（Ⅰ）求异面直线DE与AC所成角的大小；
（Ⅱ）在线段CE上是否存在点F，使平面BDF⊥平面ADE，若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

由于在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BE⊥平面ABCD，
则AB，BC，BE两两垂直，
故可以B为原点建立如图所示空间直角坐标系B-xyz．

∵AB=BC=BE=2AD=2，
则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），D（1，2，0），E（0，0，2）．
（Ⅰ）∵
DE
=(-1，-2，2)，
AC
=(2，-2，0)
∴
DE
•
AC
=(-1)×2+(-2)×(-2)=2，
|
DE
|=
(-1)2+(-2)2+22
=3，
|
AC
|=
22+(-2)2+02
=2
2

∴cos＜
DE
，
AC
＞=
DE
•
AC
|
DE
||
AC
|
=
2
6

故异面直线DE与AC所成角的大小为arccos
2
6
；
（Ⅱ）假设线段CE上存在这样的点F，不妨设F（a，0，2-a）（0≤a≤2）
则
BD
=(1，2，0)，
BF
=(a，0，2-a)

若设平面BDF的法向量为
n
=(x，y，z)
故有
n
•
BD
=0
n
•
BF
=0
，则
x+2y=0
ax+(2-a)z=0

∴平面BDF的一个法向量为
n
=(2，-1，-class="stub"2a
2-a
)
∵在平面ADE中，
DE
=(-1，-2，2)，
AD
=(1，0，0)
同理可得平面ADE的一个法向量为
m
=(0，1，1)
由于平面BDF⊥平面ADE，则
m
⊥
n
，
即
m
•
n
=2×0+(-1)×1+(-class="stub"2a
2-a
)×1=0
解得a=-2，由于点F在线段CE上，-2∉{a|0≤a≤2}
故在线段CE上不存在点F，使得平面BDF⊥平面ADE．

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