如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=32,连接CE并延长交AD于F.(1)求证:AD⊥平面CFG;(2)求三棱

题目简介

如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=32,连接CE并延长交AD于F.(1)求证:AD⊥平面CFG;(2)求三棱

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如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=
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2
,连接CE并延长交AD于F.
(1)求证:AD⊥平面CFG;
(2)求三棱锥P-ABD外接球的体积.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)在△ABD中,∵E是BD的中点,
∴EA=EB=ED=AB=1,∴AE=class="stub"1
2
BD

可得∠BAD=class="stub"π
2
,且∠ABE=∠AEB=class="stub"π
3

∵△DAB≌△DCB,
∴△EAB≌△ECB,
从而有∠FED=∠FEA=∠AEB=class="stub"π
3

故EF⊥AD,AF=FD,
又∵△PAD,中,PG=GD,
∴FG是△PAD的中位线,
∴FGPA.
又PA⊥平面ABCD,
∴FG⊥平面ABCD,
∵AD⊂平面ABCD,
∴GF⊥AD,
又∵EF,FG是平面CFG内的相交直线,
∴AD⊥平面CFG.
(2)∵PA、PB、PD两两垂直,可补形成长方体,
其外接球2R=
12+(
3
)
2
+(class="stub"3
2
)
2
=class="stub"5
2

∴R=class="stub"5
4

V=class="stub"4
3
πR3=class="stub"125π
48

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