在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为23的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分别为AB、SB的中点.(1)证明:AC⊥SB;(2)求三棱锥B-CMN的体积.-高三数学

题目简介

在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为23的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分别为AB、SB的中点.(1)证明:AC⊥SB;(2)求三棱锥B-CMN的体积.-高三数学

题目详情

在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为2
3
的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分别为AB、SB的中点.
(1)证明:AC⊥SB;
(2)求三棱锥B-CMN的体积.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明:取AC中点D,连接SD,DB.
因为SA=SC,AB=BC,所以AC⊥SD且AC⊥BD,
因为SD∩BD=D,所以AC⊥平面SDB.
又SB⊂平面SDB,所以AC⊥SB;
(2)因为AC⊥平面SDB,AC⊂平面ABC,所以平面SDC⊥平面ABC.
过N作NE⊥BD于E,则NE⊥平面ABC,
因为平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,所以SD⊥平面ABC.
又因为NE⊥平面ABC,所以NESD.
由于SN=NB,所以NE=class="stub"1
2
SD=class="stub"1
2

所以S△CMB=class="stub"1
2
CM•BM=
3
3
2

所以VB-CMN=VN-CMB=class="stub"1
3
S△CMB•NE=class="stub"1
3
×
3
3
2
×class="stub"1
2
=
3
4

更多内容推荐