已知fn（x）=（1+x）n，（Ⅰ）若f2011（x）=a0+a1x+…+a2011x2011，求a1+a3+…+a2009+a2011的值；（Ⅱ）若g（x）=f6（x）+2f7（x）+3f8（x），

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已知f_n（x）=（1+x）ⁿ，
（Ⅰ）若f₂₀₁₁（x）=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₁x²⁰¹¹，求a₁+a₃+…+a₂₀₀₉+a₂₀₁₁的值；
（Ⅱ）若g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x），求g（x）中含x⁶项的系数；
（Ⅲ）证明：

mm+1

mm+2

+…+n

mm+n-1

(m+1)n+1

m+2

]

m+1m+n

．

题型：解答题难度：中档来源：门头沟区一模

答案

（Ⅰ）因为fn（x）=（1+x）n，
所以f2011（x）=（1+x）2011，
又f2011（x）=a0+a1x+…+a2011x2011，
所以f2011（1）=a0+a1+…+a2011=22011（1）
f2011（-1）=a0-a1+…+a2010-a2011=0（2）
（1）-（2）得：2（a1+a3+…+a2009+a2011）=22011
所以：a1+a3+…+a2009+a2011=f2011（1）=22010（2分）
（Ⅱ）因为g（x）=f6（x）+2f7（x）+3f8（x），
所以g（x）=（1+x）6+2（1+x）7+3（1+x）8
g（x）中含x6项的系数为1+2×C76+3C86=99（4分）
（Ⅲ）设h（x）=（1+x）m+2（1+x）m+1+…+n（1+x）m+n-1（1）
则函数h（x）中含xm项的系数为Cmm+2×Cm+1m+…+nCm+n-1m（7分）
（1+x）h（x）=（1+x）m+1+2（1+x）m+2++n（1+x）m+n（2）
（1）-（2）得-xh（x）=（1+x）m+（1+x）m+1+（1+x）m+2++（1+x）m+n-1-n（1+x）m+n-xh(x)=

(1+x)m[1-(1+x)n]

1-(1+x)

-n(1+x)m+n
x2h（x）=（1+x）m-（1+x）m+n+nx（1+x）m+n
h（x）中含xm项的系数，即是等式左边含xm+2项的系数，
等式右边含xm+2项的系数为-Cm+nm+2+nCm+nm+1

(m+n)!

(m+2)!(n-2)!

n(m+n)!

(m+1)!(n-1)!

-(n-1)+n(m+2)

m+2

(m+n)!

(m+1)!(n-1)!

(m+1)n+1

m+2

m+1m+n

所以Cmm+2×Cm+1m+…+nCm+n-1m=

(m+1)n+1

m+2

m+1m+n

（13分）

上一篇 : 若（1+x）n展开式的二项式系数之和
下一篇 : 观察下列等式：（x2+x+1）0=1；（x2+x+1）1

已知fn（x）=（1+x）n，（Ⅰ）若f2011（x）=a0+a1x+…+a2011x2011，求a1+a3+…+a2009+a2011的值；（Ⅱ）若g（x）=f6（x）+2f7（x）+3f8（x），

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