如图，⊙O1与⊙O2内切于点P．⊙O2的弦AB切⊙O1于点C，连接PA、PB，PC的延长线交⊙O2于点D．求证：（1）∠APC=∠BPC；（2）PC2+AC•BC=PA•PB．-数学

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如图，⊙O₁与⊙O₂内切于点P．⊙O₂的弦AB切⊙O₁于点C，连接PA、PB，PC的延长线交⊙O₂于点D．求证：（1）∠APC=∠BPC；
（2）PC²+AC•BC=PA•PB．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：①过点P作两圆公切线MN，连接EC，AD，
则∠MPA=∠PCE=∠D．
∴EC∥AD．
∴∠ACE=∠CAD．
∵AB是⊙O1的切线，
∴∠ACE=∠APC．
∵∠CAD=∠BPC，
∴∠APC=∠BPC．

②∵∠APC=∠BPC，∠B=∠D，
∴△PBC∽△PDA，
∴PB：PD=PC：PA，
∴PB•PA=PC•PD=PC（PC+CD）=PC2+PC•CD，
∵PC•PD=AC•BC，
∴PC2+AC•BC=PA•PB．

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如图，⊙O1与⊙O2内切于点P．⊙O2的弦AB切⊙O1于点C，连接PA、PB，PC的延长线交⊙O2于点D．求证：（1）∠APC=∠BPC；（2）PC2+AC•BC=PA•PB．-数学

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